कैसे जाँच करें कि बिंदु विमान पर स्थित हैं


जवाब 1:

एक रेखा के वेक्टर समीकरण को लें:

\ vec {r} (\ lambda) = \ vec {a} + \ lambda \ vec {b}

किसी विमान पर लेटने के लिए दी गई रेखा के लिए, विमान के सामान्य वेक्टर के लंबवत होना आवश्यक है। यदि हम यह जानना चाहते हैं कि कोई रेखा विमान पर स्थित है या नहीं, तो हमें उस भाग को देखने की जरूरत है, जो उसके निर्देश को दर्शाता है - वेक्टर \ vec {b} जो मैंने ऊपर उद्धृत समीकरण से लिया है। यदि हमारी रेखा समतल पर स्थित है, तो यह सदिश समतल के समानांतर होगा, अर्थात यह उस समतल के एक सामान्य सदिश के लंबवत होगा। इस प्रकार, सामान्य वेक्टर के साथ \ vec {b} का डॉट उत्पाद शून्य होना चाहिए:

\ vec {b} \ cdot \ vec {N} = 0

जहां \ vec {b} लाइन की दिशात्मक वेक्टर है, और \ vec {N} विमान के लिए एक सामान्य वेक्टर है।

यह पर्याप्त नहीं है कि रेखा विमान के समानांतर है, हालांकि - एक रेखा विमान के समानांतर हो सकती है, फिर भी इसमें नहीं है। हम लाइन पर किसी भी बिंदु, और विमान पर किसी भी बिंदु को लेने में सक्षम होना चाहिए, और इन बिंदुओं के बीच वेक्टर विमान के समानांतर होना चाहिए (और सामान्य वेक्टर के लिए लंबवत)। हम इसे समीकरण रूप में इस प्रकार लिख सकते हैं:

\ Big (\ vec {r} (\ lambda) - \ vec {P_0} \ Big) \ cdot \ vec {N} = 0

जहाँ \ vec {r} (\ lambda) लाइन पर किसी भी बिंदु पर स्थित एक वेक्टर है, \ vec {P_0} विमान पर दिया गया बिंदु है, और \ vec {N} विमान के लिए एक सामान्य वेक्टर है।

लाइन के समीकरण में प्रतिस्थापित:

({vec {a} + \ lambda \ vec {b} - \ vec {P_0}) \ cdot \ vec {N} = 0

यदि रेखा समतल के समांतर है, तो आपको केवल \ lambda के एक मान के लिए समीकरण का परीक्षण करना होगा - और चीजों को सरल बनाने के लिए, आप \ lambda = 0. चुन सकते हैं: यह समीकरण को इसमें बनाएगा:

(\ vec {a} - \ vec {P_0}) \ cdot \ vec {N} = 0


निष्कर्ष निकालने के लिए, यदि \ vec {b} \ cdot \ vec {N} = 0 (रेखा समांतर समतल है) तो (\ vec {a} - \ vec {P_0}) \ cdot \ vec [०} = ०] प्लेन में लेटने के लिए लाइन सही होनी चाहिए। यदि \ vec {b} \ cdot \ vec {N} \ neq 0, तो लाइन विमान में झूठ नहीं बोलती है।


जवाब 2:

3 अंतरिक्ष में, तीन तरीके हैं एक पंक्ति और एक विमान बातचीत कर सकते हैं:

  1. रेखा पर कोई भी बिंदु विमान पर स्थित बिंदु नहीं हैं। इस मामले में, रेखा विमान के समानांतर है लेकिन विमान पर नहीं है।
  2. बिल्कुल लाइन पर बिंदुओं में से एक विमान पर भी बिंदु हैं। इस स्थिति में, रेखा और फिर विमान समानांतर नहीं होते हैं, इसलिए एक बिंदु वह है जहां रेखा विमान से गुजरती है।
  3. रेखा के सभी बिंदु समतल पर हैं। इस मामले में, रेखा विमान पर है।

तो लाइन से किसी भी दो बिंदुओं को देखने के लिए परीक्षण भी विमान पर मौजूद हैं। यदि ऐसा है, तो लाइन के सभी बिंदु विमान पर होने चाहिए, रेखा को विमान पर स्थित होना चाहिए। यदि नहीं, तो यह पहला या दूसरा मामला है।


जवाब 3:

केवल दो संभावनाएं हैं:

क) सीधी रेखा विमान पर नहीं होती है।

b) सीधी रेखा विमान पर स्थित है।

पहले मामले में, लाइन और विमान के बीच एक और केवल एक सामान्य बिंदु मौजूद है।

इसलिए, यदि रेखा और विमान के बीच एक से अधिक सामान्य बिंदु हैं, तो सभी रेखा विमान पर स्थित हैं, क्योंकि पूरी रेखा को एक अनोखे तरीके से परिभाषित करने के लिए केवल दो बिंदुओं की आवश्यकता होती है।


जवाब 4:

यदि आपके पास समीकरण हैं, तो:

  1. विमान के मापदंडों के भीतर लाइन के लिए दो समाधान भी विमान के लिए समाधान होना चाहिए।
  2. विमान के मापदंडों के भीतर लाइन के लिए एक समाधान भी विमान के लिए एक समाधान होना चाहिए और लाइन का वेक्टर विमान पर मौजूद वेक्टर के अनुरूप होना चाहिए।

जवाब 5:

एक पंक्ति हमेशा कम से कम एक विमान पर होती है। सैद्धांतिक रूप से यह अनंत विमानों पर रेखाओं को काटता है। एक गणितीय प्रमाण दिखाएगा कि किसी दिए गए विमान के लिए, रेखा पर सभी बिंदु विमानों की सीमाओं के भीतर आते हैं।