कैसे जांचा जाए कि कोई वेक्टर कॉलम स्पेस में है या नहीं


जवाब 1:

एक 2 डी स्थान और दो वैक्टर पर विचार करें (इस स्थान में अंक की कल्पना करें):

v1 = [1,0]

वी 2 = [0,1]

सभी वैक्टर के रूप में स्पैन के बारे में सोचें जो आप इस स्पेस में उक्त वैक्टर के रैखिक संयोजन से प्राप्त कर सकते हैं।

आइए एक परिवर्तन पर विचार करें जहां आपने पहले वेक्टर v1 को 3 से बढ़ाया और फिर इसे दूसरे वेक्टर v2 में जोड़ा। आपको एक नया वेक्टर मिलेगा [3,1] (3 * v1 + v2)। यह वेक्टर वैक्टर (स्पैन) के सेट में है जिसे आप दो वैक्टरों के रैखिक संयोजन द्वारा प्राप्त कर सकते हैं।

थोड़ी सी पृष्ठभूमि इससे पहले कि हम स्तंभ स्थान पर पहुँचें। यदि आप जानते हैं कि वेक्टर किस आधार पर या मेट्रिसेस की ज्यामितीय व्याख्या करता है, तो आप इस चरण को छोड़ सकते हैं।

अगर आप उन वैक्टरों को ध्यान से देखें, तो वे थोड़े खास हैं। वैक्टर के अन्य संयोजन के विपरीत, यदि आप दो वैक्टर [1,0] और [0,1] को जोड़ते हैं, तो आपको 2D स्पेस में कोई भी वेक्टर मिल सकता है! कोशिश करके देखो। इन प्रकार के वैक्टर के लिए एक विशेष शब्द है - आधार वैक्टर। कहते हैं कि किसी ने आपको एक वेक्टर V3 दिया और आपसे पूछा कि अंतरिक्ष में 90 ° घूमने के बाद यह वेक्टर कहां समाप्त होगा। चूंकि सभी वैक्टर आधार वैक्टर द्वारा बनाए जा सकते हैं, आप केवल यह देखते हुए उत्तर को काट सकते हैं कि दिए गए परिवर्तन के बाद आधार वैक्टर कहां उतरेगा। फिर यदि आपने आधार वेक्टर के नए स्थान को लिया और इसे V1 से गुणा किया, तो आप परिवर्तन के बाद V1 का स्थान प्राप्त कर सकते हैं। तो आप एक परिवर्तन के बाद आधार वैक्टर के एन्कोडिंग के रूप में मैट्रिक्स की व्याख्या कर सकते हैं।

कॉलम स्पेस मैट्रिक्स में कॉलम वैक्टर की अवधि है।

चलो एक मैट्रिक्स ले:

\ शुरू {bmatrix} 2 और 3 \\ 4 और 5 \\ \ अंत {bmatrix}

आप एक रूपांतरण के बाद आधार वेक्टर के परिणामस्वरूप स्थान के रूप में एक मैट्रिक्स ([2,4] और [3,5]) में कॉलम की व्याख्या कर सकते हैं। तो इन कॉलम वैक्टर [2,4] और [3,5] का कोई भी रैखिक संयोजन स्तंभ स्थान है।


जवाब 2:

"स्पान" कुछ अर्थों में अधिक मौलिक अवधारणा है। यही है, "एक मैट्रिक्स का कॉलम स्पेस कॉलम की अवधि है।"

यदि आपके पास वैक्टर का कोई संग्रह है तो आप उनमें से सभी संभव रैखिक संयोजनों को ले सकते हैं। वैक्टर का परिणामी सेट एक वेक्टर स्थान है जिसे मूल संग्रह की अवधि कहा जाता है।

मैट्रिक्स का कॉलम स्पेस, मैट्रिक्स बनाने वाले कॉलम वैक्टर के सभी संभव रैखिक संयोजन हैं।

तो एक अन्य अर्थ में अंतर केवल इतना है कि हम मैट्रिक्स के कॉलम वैक्टर के बारे में बात करते समय केवल "कॉलम स्पेस" का उपयोग करते हैं, और हम वैक्टर के अन्य सभी संग्रह के लिए "स्पैन" का उपयोग करते हैं।


जवाब 3:

ठीक है, मुझे पता है कि यह थोड़ा भ्रमित है। इसे पता लगाने के लिए 15 मिनट लग गए। लेकिन यह काफी आसान निकला।

सबसे पहले, "स्पान" क्या है?

स्पैन बेसिस वैक्टर के सभी रैखिक संयोजनों का सेट है।

अब कॉलम स्थान पर आते हैं:

अब ए 3 * 3 मैट्रिक्स पर विचार करें।

इस 3 * 3 मैट्रिक्स का प्रत्येक स्तंभ एक आधार वेक्टर है। इसलिए प्रत्येक कॉलम क्रमशः, i, j, k (कैप) के लिए।

और इन सभी आधार वैक्टरों के स्पैन को कॉलम स्पेस कहा जाता है।

इसे कॉलम स्पेस कहा जाता है क्योंकि यह "सभी वैक्टरों का विस्तार है जो एक मैट्रिक्स में पैक किया जाता है, प्रत्येक वेक्टर को कॉलम के रूप में"

यह आसान नहीं है !!!


जवाब 4:

एक सेट की अवधि उस सेट में तत्वों के सभी रैखिक संयोजनों का सेट है।

कॉलम स्पेस मैट्रिक्स में कॉलम के सेट की अवधि है।

एक अन्य अवधारणा का एक विशेष उपयोग है।


जवाब 5:

स्पैन एक बड़ा, निश्चित रैखिक स्थान में तत्वों के किसी भी परिमित या अनंत परिवार द्वारा उत्पन्न रैखिक स्थान है। कॉलम स्पेस मैट्रिस से संबंधित है, और मैट्रिक्स के कॉलम वैक्टर द्वारा फैलाया गया स्पेस है, इस प्रकार स्पैन का एक बहुत ही खास मामला है।

स्पान को वैक्टर के परिवार का "रैखिक पतवार" भी कहा जाता है।