कैसे परिवर्तन एक रेखीय है अगर जाँच करने के लिए


जवाब 1:

एक रैखिक परिवर्तन के दो गुण हैं। अन्यथा, यह गैर-रैखिक है।

रैखिक परिवर्तन

एक रैखिक ऑपरेटर f (x) इन दो गुणों को संतुष्ट करता है। f (x) एक रैखिक परिवर्तन है।

  1. योग राशि का परिवर्तन (x + y) = f (x) + f (y)
  2. परिवर्तन एक स्थिर f (ax) = af (x) को बाहर निकालता है

उदाहरण

कैलकुलस में, व्युत्पन्न एक रैखिक ऑपरेटर है।

\ frac {d} {dx} (x + y) = \ frac {dx} {dx} + \ frac {dy} {dx} = 1 + \ frac {dy} {dx}

कार्टेशियन रेखाएं निश्चित रूप से रैखिक होती हैं।

ax + by = c एक द्वि-आयामी रेखा है

ax + by + cz = d एक त्रि-आयामी रेखा है

गैर-रैखिक उदाहरण

लाइनों के अलावा अन्य बहुपद गैर-रेखीय होते हैं। एक द्विघात बहुपद (y + z) ^ 2 एक नया शब्द 2yz बनाता है।

p (x) = x ^ 2

p (y + z) = (y + z) ^ 2 = y ^ 2 + 2yz + z ^ 2 \ ne (y ^ 2 + z ^ 2)


जवाब 2:

रैखिकता दो गुणों का एक संयोजन है।

एक नक्शा च रैखिक है अगर

  • एफ (\ अल्फा एक्स) = \ अल्फा एफ (एक्स)
  • इनपुट स्केलिंग आउटपुट को स्केल करने के समान है।
  • f (x + y) = f (x) + f (y)
  • हम मैपिंग को जोड़ सकते हैं और फिर ले सकते हैं, या हम प्रत्येक भागों को मैप करने के बाद जोड़ सकते हैं। यह एक होमोमोर्फिज्म के रूप में जाना जाता है।

जब हम इन नियमों को एक साथ रखते हैं तो हम प्राप्त करते हैं

f (\ Alpha x + \ beta y) = \ Alpha f (x) + \ beta f (y)

या अधिक आम तौर पर

f (\ sum_j \ alpha_j x_j) = \ sum_j \ alp_j f (x_j)

यदि यह समान गुणांक वाले f (x_j) के रैखिक संयोजनों के लिए x_j का रैखिक संयोजन लेता है तो एक नक्शा रैखिक है।

यह साबित करने के लिए कि एक नक्शा रैखिक है, आपको बस इन समान स्थितियों में से एक दिखाना होगा।


जवाब 3:

यह वास्तव में इस पर निर्भर करता है कि परिवर्तन क्या है, लेकिन यदि T आपका परिवर्तन है, तो यह रैखिक नहीं है यदि आप कोई \ mathbf x, \ mathbf y जैसे कि T (\ mathbf x + \ mathbf y) \ ne T (\ mathbf x) पा सकते हैं ) + T (\ mathbf y) या कोई \ mathbf x और स्केलर एक ऐसा कि T (a (mathbf x) \ ne aT (\ mathbf x)।

इसी तरह, टी रैखिक है अगर और केवल अगर हर वैक्टर के लिए \ mathbf x, \ mathbf y और scalar a, T (\ mathbf x + \ mathbf y) = T (\ mathbf x) + T (\ mathbf y) और T ( a \ mathbf x) = aT (\ mathbf x)।


जवाब 4:

यदि यह योगात्मक नहीं है, तो सबसे पहले, यदि T (u + v)! = (नहीं के बराबर) T (u) + T (v)

दूसरा अगर यह स्केल नहीं करता है तो यदि सीए स्थिर टी (क्यू) के लिए! = सीटी (यू)


जवाब 5:

एक मानचित्र f: A-> B रैखिक है यदि सभी x, y में A और m में R कहते हैं, तो

f (x + my) = f (x) + mf (y)।

ध्यान दें कि यह परिभाषा एक साथ दो शर्तों को लागू करती है: -

f (x + y) = f (x) + f (y)

तथा

f (mx) = mf (x)